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    [技術(shù)]半解析快速傅里葉變換 [復(fù)制鏈接]

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    只看樓主 倒序閱讀 樓主  發(fā)表于: 2023-07-19
    我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。 !="q"X /*  
     +n;nvf}(  
    1.簡(jiǎn)介 f(m, !  
     2r!ltG3}  
    物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場(chǎng)分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場(chǎng)分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。 v{a%TA9-  
     B{j><u xl  
    2.理論 TSP%5v;Dh  
    2.1 場(chǎng)的表征：提取二次相位 11yXI[  
     ~#*C,4m  
    我們從空間域的符號(hào)開始，在本文中我們使用符號(hào)對(duì)應(yīng)6個(gè)場(chǎng)分量，也就是V = (E, H)： \s5Uvws  
     V+ ("kz*  
    |^1U<'oM#  
    (1) ]WDmx$"&e  
    在公式1中，我們假設(shè)場(chǎng)有兩部分：衍射場(chǎng)和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對(duì)于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場(chǎng)。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出： /=/Ki%hh  
    =WY'n l'  
    (2)
    顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場(chǎng)比余項(xiàng)場(chǎng)需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過(guò)FFT且無(wú)二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。 w I_@  
     p5fr}#en  
    2.2.半解析傅里葉變換 &*<27-x  
     MJ)lZ!KZ  
    從卷積定理可知： aDNB~CwZZ  
    sg $db62>  
    (3) a'i Q("  
    通常來(lái)說(shuō)，項(xiàng)必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知： $~G,T g  
    g^]Iw~T6$  
    (4) &ry*~"xoh  
    適用于任何復(fù)，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。 { ] R'U/  
    在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來(lái)： +H2Jhgi  
                         (5)
    其中： X=$Jp.  
                          (6)
    其中常數(shù)項(xiàng)。 p,fV .5q  
    將公式5帶入公式3，通過(guò)改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)可以表示為： `Y?VQ~ci>  
    (7)
    其中： ]^~}/@  
    (8)
    這里， 和坐標(biāo)項(xiàng)。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場(chǎng)的FFT可被兩個(gè)余項(xiàng)場(chǎng)的FFT替代。 +'?Qph6o,7  
     %hnBpz  
    3.數(shù)值仿真 ,@ 8+%KqG  
     l'+3 6  
    這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計(jì)軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實(shí)現(xiàn)。