摘要：我們使用近似的物理光學(xué)模模擬了半徑的測量。使用簡單的幾何光線模型替換復(fù)雜的物理光學(xué)模型，可以確定在測量中的偏差。 z~U qA1r e4j:IK> 1. 簡介 edx-R-Dc-1
TW7jp 半徑干涉測量通常通過簡單的幾何模型來模擬，即，來自物鏡（或標(biāo)準(zhǔn)透鏡）的光線形成錐形并且聚焦到一點[1]。當(dāng)測試光學(xué)器件變小和/或需要更高的精度時，這個簡單的幾何模型就會產(chǎn)生問題并得到錯誤的半徑測量值。需要完整的物理光學(xué)模型來捕獲系統(tǒng)的衍射效應(yīng)和像差。 ` XE8[XY
iQ~;to;Y 半徑干涉測量的原理圖如圖1所示。菲索或泰曼格林干涉儀都可用于半徑測量。在菲索干涉儀中，標(biāo)準(zhǔn)透鏡用作聚焦元件、分束和參考表面。在泰曼格林干涉儀中，使用分束器將光分成參考反射鏡和物鏡，它可以將光束聚焦到測試部件。 M._9/
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0M4 通過首先將部件放置在共焦位置，然后將部件移動到貓眼位置，并測量部件移動的距離，來測量測試部件的半徑，該距離就是測試部件的半徑。當(dāng)澤尼克多項式[1]的離焦項為零時，共焦和貓眼位置重合。在視覺上，靶心環(huán)是空的。因為操作者不能將部件準(zhǔn)確地放置在所需的位置，所以用于確定共焦和貓眼位置的最準(zhǔn)確的方法是逐步通過這兩個位置。當(dāng)操作者以小步幅移動部件通過共焦和貓眼時，我們記錄離焦和Z位置。然后，我們用一條線擬合離焦VS.Z位置。共焦和貓眼位置是Z位置軸上的截距。這種通過共焦和貓眼步進(jìn)的方法可用于精確半徑測量[2]，我們在這里用于半徑測量的模擬。 L $=6R3GI
! Z 3iu 圖1：半徑干涉測量幾何模型原理圖 8rx?mX,}
在NIST的精密半徑干涉測量實驗顯示了標(biāo)稱24.466mm半徑的Zerodur球的測量之間的差異。球體由坐標(biāo)測量儀機械測量，同時在使用不同標(biāo)準(zhǔn)透鏡的干涉儀上光學(xué)測量[2]。即使考慮了測量中的所有已知偏差和不確定性，這種在75nm至400nm范圍內(nèi)的差異仍然存在。對于這種差異的解釋可能是光被假定遵循幾何模型而不是更準(zhǔn)確的物理光學(xué)模型，我們將在這里進(jìn)行測試。 [d aUtKz
a;r,*z Z=" 在光的幾何模型中，當(dāng)透鏡的頂點與光的焦點（發(fā)生在距離聚焦元件一個焦距處）重合時，就會出現(xiàn)貓眼位置。然后，共焦位置距離貓眼位置一個半徑。在非像差幾何模型中，這發(fā)生在聚焦元件的波前的曲率等于測試部件的曲率時。 pIXbr($
EuOrwmdj 半徑測量的高斯模型表明了當(dāng)使用幾何模型而不是更復(fù)雜的高斯模型時，半徑測量中存在誤差[3]。對于較小的半徑部分（<1mm），這個誤差是在105部件的量級，而對于較大的部件（25mm），有接近108部件的誤差。當(dāng)考慮具有半徑像差的高斯模型時，NIST [2]的研究者發(fā)現(xiàn)了6nm的誤差（107部件）。這些像差是由標(biāo)準(zhǔn)透鏡和系統(tǒng)中的其他光學(xué)元件的缺陷引起的。 Cd?a C
& w&JE]$ 5 下一步是考慮物理光學(xué)模型。當(dāng)然，焦點區(qū)域的分析計算是不可行的，因此需要近似。對于這種物理光學(xué)模型，我們使用來自Photon Engineering的軟件包FRED [4]。 >ZTRwy`_( &Egw94l 2. FRED模型 d %1j4JE{
o m@GH0o+ FRED通過將光源光束近似為點網(wǎng)格來近似物理光學(xué)模型，其中每個點發(fā)出高斯分布“子束”。 每個高斯子束以ABCD矩陣方法[5]傳輸通過光學(xué)系統(tǒng)。在每個子束通過系統(tǒng)之后，疊加“探測器”上子束的波前，以近似物理光學(xué)模型。FRED是一個可視化軟件包，其中透鏡、反射鏡和光源都顯示在它們的相對位置。FRED不執(zhí)行幾何分析。 +fB bW::R^
,9SBGxK5` 為了模擬半徑測量，我們首先插入每個元件（光源、聚焦透鏡、測試部件和探測器）到FRED文件中。然后追跡來自光源的光線。光線由聚焦元件聚焦，從測試部分反射，再由聚焦元件準(zhǔn)直，然后在探測器處讀取。在探測器處的期望輸出是波前的相位。我們按照所述步驟通過共焦和貓眼位置，并獲得每個點的相位圖。然后我們使用Matlab讀取相位數(shù)據(jù)和Z位置，以確定共焦和貓眼的位置。半徑是兩個位置之間的差，半徑誤差是測試部件的輸入半徑和輸出半徑之間的差。 h8i ic
*UJ.cQ} 我們在模擬半徑測量中使用了兩個不同的光源。我們測試了在整個圓形孔徑上具有恒定強度和相位的圓形孔徑光束，這模擬了最佳實驗裝置。第二個光源是高斯強度光束，通過改變子束的強度，使得強度的疊加是高斯分布，來形成該高斯光束。光源波長為632.8nm（氦-氖），并設(shè)置為相干。子束的數(shù)量可以改變，并且影響測量的時間和輸出相位。我們測試了不同孔徑尺寸的光源，從直徑為4mm的微干涉儀到直徑為150mm的大尺度干涉儀。 7k.=_Tl
^`XQ>-wWue 我們測試了兩種類型的聚焦元件。因為FRED使用實際光學(xué)器件而不是近軸近似，所以典型的透鏡具有太多的附加的球差。因此，我們首先使用拋物面作為聚焦元件，接下來使用具有圓錐表面（以減少像差）的透鏡作為聚焦元件。我們通過改變焦距來測試不同的數(shù)值孔徑。 F=?0:2P0bD
P-[6'mw` 我們測試了一系列測試部件，半徑從0.25mm到1mm，用于微干涉儀裝置，半徑25mm附近，用于宏觀干涉儀。模擬探測器以像素劃分，且可以改變。使用的像素越多，測量速度就越慢，并會影響相位輸出。圖4（a）示出了使用拋物面聚焦元件的示例測量。圖4（b）是當(dāng)部件位于貓眼附近時的波前相位圖的圖片。主要的誤差是離焦，這表明部件并不完全在貓眼處。 e%Rg,dX i|?EgGFG 圖4.（a）FRED中半徑測量示意圖（b）來自FRED波前相位示例
?Imq4I~) 3. 結(jié)果 }TI"j{(QJ
ve|ig]$5g< 由于篇幅限制，此處僅顯示了幾個結(jié)果。該模型顯示了半徑、貓眼位置和共焦位置處的誤差。也就是說，輸出半徑不等于輸入半徑，并且貓眼和共焦位置會有偏移。圖5顯示出對于改變NA和部件尺寸而沒有附加的像差的微干涉儀的模型的結(jié)果。如圖5（a）所示，誤差隨著的NA目標(biāo)變小而增加，如預(yù)期的那樣，因為焦點較大。此外，對于較大的部件，誤差較小，如圖5（b）所示。對于在f/3.2和25mm半徑輸入部件的宏觀尺度干涉儀，誤差為133nm，106中5個部件。這個誤差量可以開始解釋在NIST的實驗中所顯示的差異[2]。這些誤差不存在任何像差。如果將典型的像差量添加到模型中，則預(yù)期誤差將增加，這是我們的工作的下一環(huán)節(jié)。 U$-Gc[=|
{ }Q!./5 圖5.使用幾何模型而不是更加復(fù)雜的FRED模型的誤差，數(shù)據(jù)來源于微干涉儀裝置。
Cak `}J 2 4. 討論和總結(jié) k]K][[ s`
xn|M]E1) 我們預(yù)測模型假設(shè)將會在焦點區(qū)域附近受到挑戰(zhàn)，有時稱為焦散。在焦散點附近，射線不垂直于波前，以及“相位偏移”[6]，即使對于無像差波前也是如此。因此，波場的分析具有誤差。最近的一篇出版物很好地總結(jié)了情況，“對在不同介質(zhì)之間的彎曲界面處具有焦散的波場的分析仍然是一個重大挑戰(zhàn)...我們不知道任何現(xiàn)有的基于光線的模型可以分析這種情況”[7]。彎曲界面是半徑測量中的測試部件。為了解決這個問題，作者提出修改軟件中的高斯子束源來解決這個問題。這種用于光學(xué)建模的方法顯然不在本工作的范圍內(nèi)，而是在此介紹FRED中的誤差并作為未來研究的方向。 jrJ!A(<)
F6^Xi"R[ 我們進(jìn)行了有限的不確定性分析。第一個不確定性是散焦對位置圖擬合的不確定性，其由模型故障、解包算法中的誤差、相機的像素特性和澤尼克擬合算法中的誤差引起。由擬合引起的半徑不確定性有波動，但對于大多數(shù)情況可以估計在±40nm。FRED模型中的另一個不確定性來源是選擇輸入光線子束的數(shù)量和相機中的像素數(shù)量。這些選擇導(dǎo)致輸出半徑中的±31nm（光源）和±64nm（探測器器）的不確定性。我們使用簡單的和的平方根法來組合這三個不確定性來源，以估計來自FRED模型的半徑的不確定性為±81nm。因為這種不確定性很大，F(xiàn)RED不太可能用于校正在幾何模型中沒有考慮的高精度的偏差，但是我們?nèi)匀豢梢允褂肍RED尋找趨勢。 `=TV4h4
YGFE(t;lPU 我們指出，當(dāng)使用簡單幾何模型而不是更復(fù)雜的物理光學(xué)模型時，在半徑干涉測量中存在誤差。該誤差隨著部件半徑的減小和物鏡NA的減小而增加。這個誤差可能有助于解釋一些實驗結(jié)果中發(fā)現(xiàn)的差異。但是，物理光學(xué)模型的近似不是完美的，也具有不確定性。這種不確定性使得軟件不可能用于校正測量中的偏差。該軟件可用于顯示由使用幾何模型而不是物理光學(xué)模型引起的不確定性的大小。
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