那么我們該如何刻畫拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)呢？

如果一個閉合曲面能連續(xù)變換到另一個閉合曲面，我們就稱這兩個曲面是拓?fù)涞葍r的（同一個拓?fù)湎啵�。否則，我們認(rèn)為他們拓?fù)洳坏葍r，需要相變才可以相互轉(zhuǎn)換。為此，我們需要對表面進行分類。

在二維的情況下，所有閉合（緊致）曲面有無窮多拓?fù)湎啵�其中比較典型的是球面，圓環(huán)面，克萊因瓶。它們?nèi)齻�的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)各不相同，我們需要用一個量來區(qū)分它們。直觀上，我們可以認(rèn)為圓環(huán)面有一個洞，但是球面沒有洞，而克萊因瓶則可以理解成有負(fù)數(shù)個洞的曲面。所以洞的個數(shù)便是區(qū)分它們拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的量。

電子的轉(zhuǎn)動操作與克萊因瓶：由于電子的自旋是半整數(shù)，當(dāng)我們對電子進行旋轉(zhuǎn)操作360度后，電子自旋沒有回到原來的位置，而是反向。如果要想自旋回到原來的位置，則需要沿同一軸、同一方向再旋轉(zhuǎn)360度。如果把電子的自旋波函數(shù)認(rèn)為是克萊因瓶上的垂直于表面的法向量，也可以得到同一個結(jié)果，如圖所示。

這個表征拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的量有很多名字，物理學(xué)家稱它為拓?fù)湫蚧蛘咄負(fù)洳蛔兞�，意味著只要空間的拓?fù)湫再|(zhì)不變，那么這個量就不變。拓?fù)洳蛔兞堪芽臻g的拓?fù)湫再|(zhì)和一個數(shù)字等價起來，簡潔有效。二維情況下，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家把這個量起名為歐拉-龐卡萊示性數(shù)。而在量子整數(shù)霍爾效應(yīng)中，相空間的拓?fù)洳蛔兞烤褪顷悢?shù)。

為什么拓?fù)浣^緣體表面導(dǎo)電但內(nèi)部絕緣

根據(jù)固體的能帶論，不同原子殼層的電子相互作者用形成共價鍵。兩個電子成共價鍵后，會形成分子軌道，分子軌道由原子軌道線性組合而成。線性組合后會有兩種情況：成鍵態(tài)原子核間的電子云密度變大，能量比組合前的兩個電子能量之和低；反成鍵態(tài)能量比組合前兩個電子能量高，且原子核間的密度變小。最簡單的例子是氫氣，兩個價電子占據(jù)了成鍵態(tài)，而反成鍵態(tài)未被占據(jù)。