2.1麥克斯韋方程組 4:
<=%d
光是電磁波，它具有電磁波的通性，因此，光波在光柵中傳輸?shù)囊恍┗拘再|(zhì)都可以從電磁場的基本方程推導(dǎo)出來，這些方程就是麥克斯韋方程組[6] ttK`*Ng
(2.1.1) P_w\d/3
(2.1.2) 0u"/7OU
(2.1.3) mzX <!
(2.1.4) V ^U1o[`
(2.1.5) 23;e/Qr
(2.1.6) 1xkU;no
在上式中， E——電場強(qiáng)度 <.h\% & 'U
H——磁場強(qiáng)度 u70-HFI@
D——電位移矢量 3oCw(Ff
B——磁感應(yīng)強(qiáng)度 QF fK EMN
ε——介質(zhì)介電常數(shù) M5Twulz/w
μ0——介質(zhì)磁導(dǎo)率 6!3Jr
——矢量微分算子 DB>Y#2j4h
由于我們研究的是光波在光柵中的傳輸問題，因此有μ=μ0，ρ=0，因而 ，J=0. u8wZ2 j4S
麥克斯韋方程只給出場和場源之間的關(guān)系，即 ， ， ， 之間的相互關(guān)系.為了求出光波在光柵中的傳播規(guī)律，應(yīng)進(jìn)一步求出每一個量隨時間和空間的變化規(guī)律，也就是從麥克斯韋方程組中求解 ， 諸量隨時、空的變化關(guān)系. /@H2m\vBX
對于ε為常數(shù)和 或ε不為常數(shù)，但 ，從麥克斯韋方程組可以推導(dǎo)出波動方程 ： Q:x:k+O-
(2.1.7a) $qx&\@O
(2.1.7b) yeCR{{B/'
在頻域中，所有的場量都是以角頻率ω振蕩的正弦量，因而上式波動方程可化為(亥姆霍茲方程)： yT>t[t60/S
(2.1.8a) B
az:N 6u
(2.1.8b) ($oO,
c'z
2.2 光柵的衍射理論 /~LXY< -(
嚴(yán)格的光柵分析理論可以分成兩大范疇[7]: 積分方法和微分方法, 積分方法比較適合于分析連續(xù)面形 (面形可以用單一連續(xù)函數(shù)表示)光柵的衍射特性, 而微分方法比較適合于分析不連續(xù)、 離散面形 (面形要用分段函數(shù)表示)光柵的衍射特性 ，相對來講, 積分方法要比微分方法更多數(shù)學(xué)工具 , 在微分方法中光柵的模式理論和耦合波理論是最常用 . 1M o h a ram和 Gay lo rd 最早將嚴(yán)格的二階耦合波理論 (中間推導(dǎo)沒有近似或忽略), 應(yīng)用于平面光柵 , 嚴(yán)格的耦合波理論因其直觀,, 易于計(jì)算、 準(zhǔn)確等特點(diǎn)而被人們所采用1 ,但二階耦合波理論對于 T E模和 TM模要采用不同的公式進(jìn)行計(jì)算 , 而一階耦合波理論對于 T E模和TM�？刹捎孟嗤墓�, 因此一階耦合波理論要比二階耦合波理論更有意義. 1M 1C 1Gup ta 曾采用光柵的模式理論對矩形位相光柵進(jìn)行過分析 , 但是光柵的周期和溝槽深度都比較小,M o h a ram 和Gay lo rd 曾采用一階耦合波方法對平面光柵的衍 射特性進(jìn)行了分析 .標(biāo)量衍射理論是經(jīng)過簡化和近似的理論，其最主要的特點(diǎn)是把光當(dāng)作標(biāo)量現(xiàn)象來處理，即只考慮電場或磁場的一個橫分量的標(biāo)量振幅，而假定任何別的有關(guān)分量都可以用同樣的方式獨(dú)立處理，其主要適用于矩形位相光柵的特征尺寸遠(yuǎn)大于入射光波長的情況；矢量衍射理論是在沒有近似的情況下分析矩形位相光柵衍射問題的嚴(yán)格理論，它充分考慮了電磁場的矢量特性，通過在一定的邊界條件上嚴(yán)格地求解麥克斯韋方程來分析衍射問題，具有普適性，主要適用于矩形位相光柵的特征尺寸接近甚至小于入射光波長，即達(dá)到亞波長結(jié)構(gòu)的情況[8~12].本文將標(biāo)量衍射理論應(yīng)用到矩形位相光柵，采用透過率函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開和復(fù)振幅的傅里葉變換方法對矩形位相光柵的衍射特性進(jìn)行詳細(xì)的分析 .
