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用 Mathematica 中的阿基米德螺線和復(fù)雜代數(shù)分析太空中雜耍的模式 用 Mathematica 中的阿基米德螺線和復(fù)雜代數(shù)分析太空中雜耍的模式 太空雜耍是什么樣的呢? 當(dāng)我問這個(gè)問題時(shí)，我并不是想把地球雜耍放到太空。我想知道對(duì)于一個(gè)太空藝術(shù)家來說雜耍是什么樣的。我努力學(xué)習(xí)并練習(xí)了這個(gè)技巧。幾周前，我還在國(guó)際雜耍協(xié)會(huì)2021年冠軍賽上以太空雜耍表演獲得了第一名! 人體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 在我第一次拋物線飛行之前，我寫了一個(gè) Mathematica 代碼來計(jì)算人體在不同位置的主要轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。概述其中一些研究的文章稱為“失重中人體的編舞技術(shù)”。下圖是使用該筆記本生成的。  知道主軸很有用，因?yàn)樽畲蠛妥钚≥S向我們展示了我們可以穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的軸。如果系統(tǒng)沒有簡(jiǎn)并性，這些是身體可以穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的唯一軸。通過構(gòu)造轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量(繞物體質(zhì)心)來找到軸，然后找到特征值和特征向量。 在上面的圖中，藍(lán)色和紅色箭頭分別表示的最大和最小軸。如果身體的總角動(dòng)量與這些軸之一對(duì)齊，則身體將穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)并且不會(huì)擺動(dòng)。我發(fā)現(xiàn)有趣的是，身體可以圍繞腹部旋轉(zhuǎn)，有點(diǎn)像通過圍繞藍(lán)色軸旋轉(zhuǎn)的側(cè)手翻。 在失重狀態(tài)下扔球 下一個(gè)需要了解的細(xì)節(jié)是，當(dāng)一個(gè)球在失重狀態(tài)下投擲時(shí)，它沿直線而不是拋物線運(yùn)動(dòng)。 我們可以將這兩條信息放在一起，考慮到一個(gè)人可以以側(cè)手翻的方式旋轉(zhuǎn)并將球扔給自己。更有趣的是，我們知道球在慣性空間中沿直線運(yùn)動(dòng)，但它們?cè)谛D(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？雜耍人看到了什么？ 首先，我們需要一個(gè)表示雜耍人脊柱方向的函數(shù)。假設(shè)從頭部到沿脊柱的位置以及雜耍者的雙手之間的距離為 A。我們也可以說雜耍者以角速度 ω 旋轉(zhuǎn)。因此  我們想知道從點(diǎn) f[t] 到手的位置的偏移量，我們可以縮放和旋轉(zhuǎn) f[t] 來簡(jiǎn)化。  記住，任何復(fù)數(shù)向量乘以一個(gè)單位復(fù)數(shù)會(huì)旋轉(zhuǎn)它，旋轉(zhuǎn)角度是正實(shí)軸和這個(gè)向量的夾角。在 Mathematica 中，如果您有一個(gè)單位復(fù)向量，您可以計(jì)算這個(gè)向量的 Arg，它會(huì)告訴您旋轉(zhuǎn)角度是多少。 如果我們加上 f[t] 和 g[t]，我們就會(huì)得到左手的位置。  如果 f[t] 減去 g[t]，就得到右手的位置。  讓我們快速地看一下目前為止我們都得到了什么。我們?cè)O(shè) ω = 2 π，這樣 t的值就與轉(zhuǎn)數(shù)成正比。設(shè) t = 1/8 我們可以從坐標(biāo)軸上看到它。   現(xiàn)在我們已經(jīng)有一種方法來展示身體如何在側(cè)手翻運(yùn)動(dòng)中旋轉(zhuǎn)。下一個(gè)需要展示一個(gè)球的運(yùn)動(dòng)。它會(huì)沿著直線移動(dòng)。我們想從一個(gè)雜耍者的手開始，我們想它被雜耍者的手抓住。從數(shù)學(xué)上講，這意味著軌跡將在時(shí)間 ti， 位置 開始，在時(shí)間到 τ， 結(jié)束。 |
