近日，華東師范大學(xué)精密光譜科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室曾和平教授課題組在激光領(lǐng)域取得重要進(jìn)展，該團(tuán)隊(duì)首次揭示了呼吸子超快激光器中的分形動力學(xué)。研究成果“Farey tree and devil’s staircase of frequency-locked breathers in ultrafast lasers”于2022年10月發(fā)表于Nature Communications上。曾和平教授和彭俊松研究員為論文的共同通訊作者，博士生吳修齊和張穎分別為論文的第一、第二作者。合作者包括英國阿斯頓大學(xué)的S.Boscolo博士和法國勃艮第大學(xué)的C.Finot教授。

“分形”一詞由數(shù)學(xué)家Benoit Mandelbrot在1975年首次提出，并由此誕生了一門新的學(xué)科-分形幾何學(xué)。Mandelbrot將分形定義為“分形是局部和整體以某種方式相似的形狀”。分形在自然界中的一個(gè)典型例子是西蘭花，西蘭花每一個(gè)分支和整體的形狀都是相似的。雖然分形最初只是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，但已經(jīng)在眾多系統(tǒng)中被觀察到，例如材料學(xué)、生物學(xué)、神經(jīng)學(xué)、電路、網(wǎng)絡(luò)、地理和股票價(jià)格波動等。2000年，光學(xué)孤子和分形之間的聯(lián)系在理論上被建立起來（Phys. Rev. Lett. 84, 1902， 2000)。由于光孤子較為穩(wěn)定，將其“分形”為多個(gè)分支需要對傳輸介質(zhì)（例如光纖）的物理性質(zhì)進(jìn)行多次改變，且需要在多個(gè)位置對光孤子進(jìn)行探測。這些條件在實(shí)驗(yàn)上很難實(shí)現(xiàn)，相關(guān)實(shí)驗(yàn)幾乎無法開展。

曾和平教授團(tuán)隊(duì)另辟蹊徑，提出并證明了激光器中的呼吸孤子(或呼吸子)可構(gòu)成分形。呼吸子是參數(shù)周期性變化的局域化波包。由于呼吸子與湍流、混沌、極端事件、調(diào)制不穩(wěn)定性等非線性現(xiàn)象密切相關(guān)，獲得了學(xué)界的廣泛關(guān)注。該工作首次將呼吸子和分形聯(lián)系起來。研究發(fā)現(xiàn)呼吸頻率(呼吸子演化周期的倒數(shù))與激光器重復(fù)頻率(由激光器長度決定)的比值隨著光強(qiáng)的變化會出現(xiàn)一系列平臺（階梯）。平臺的出現(xiàn)表明此時(shí)該比值是個(gè)常數(shù)。這些平臺對應(yīng)的數(shù)值展現(xiàn)出經(jīng)典的分形結(jié)構(gòu)-法里樹。該分形結(jié)構(gòu)被稱為魔鬼階梯是因?yàn)槠浞中尉S度的大小和魔鬼階梯一致，均為0.87。平臺上對應(yīng)的呼吸子被稱為頻率鎖定呼吸子，因?yàn)槠浜粑�頻率自發(fā)地鎖在激光器重復(fù)頻率上，在外界擾動下保持不變。其頻率穩(wěn)定性比沒有鎖定的呼吸子高3000倍左右！

分形呼吸子的另一個(gè)特點(diǎn)是可以產(chǎn)生不受激光器腔長限制的密集頻率梳。例如，該工作展示了該激光器出射的激光的梳齒密度比相同腔長的激光器大幅增加了41倍，從而實(shí)現(xiàn)了亞兆赫茲間距的頻率梳。普通激光器要實(shí)現(xiàn)亞兆赫茲的梳齒間距，需要百米量級的腔長，因此很不穩(wěn)定。由此可見，基于分形的呼吸子激光器作為替代方案有很強(qiáng)的吸引力。

該圖形象地說明了飛秒光纖激光器中產(chǎn)生的呼吸子實(shí)際上是一種分形結(jié)構(gòu)-法里樹。進(jìn)一步研究表明該法里樹的維度和魔鬼階梯一致。

該工作表明呼吸子激光器可作為一個(gè)簡單的非線性系統(tǒng)來研究分形動力學(xué)。由于呼吸子的普遍性(微腔、BEC、流體力學(xué)等)，該工作有望激發(fā)分形在相關(guān)物理系統(tǒng)中的研究，分形為理解這些系統(tǒng)中的復(fù)雜動力學(xué)提供了一個(gè)全新的視角。更廣泛地來看，描述飛秒激光器的物理模型是非線性薛定諤方程，該方程具有很強(qiáng)的普適性。這項(xiàng)工作通過實(shí)驗(yàn)和理論發(fā)現(xiàn)的非線性薛定諤方程的分形解，也將在相關(guān)的物理系統(tǒng)中獲得關(guān)注。

近年來，曾和平教授團(tuán)隊(duì)在呼吸子超快激光領(lǐng)域做了系統(tǒng)性工作。提出并證實(shí)了呼吸子超快激光,包括連續(xù)呼吸子（Sci.Adv.5 eaax1110 2019）和分立呼吸子（Phys.Rev.Appl.11 044068 2019）;利用AI技術(shù)實(shí)現(xiàn)了其智能調(diào)控（Laser & Photon.Rev.2100191 2021）；揭示了呼吸子爆炸動力學(xué)（Phys.Rev.Appl.12 034052 2019）及呼吸子多體相互作用（Laser & Photon.Rev.2000132 2021）。這項(xiàng)工作得到了科技部、國家自然科學(xué)基金委、上海市科委和重慶市科委的資助。

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